Python如何引用歐拉常數(shù)

歐拉常數(shù)(Euler-Mascheroniconstant)。

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學(xué)過高等數(shù)學(xué)的人都知道，調(diào)和級(jí)數(shù)S=1+1/2+1/3+..是發(fā)散的這時(shí)引用歐拉常數(shù)。

在數(shù)論，對(duì)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目（因此φ(1)=1）此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名(Euler’stotientfunction)，它又稱為Euler’stotientfunction、φ函數(shù)、歐拉商數(shù)等例如φ(8)=4，因?yàn)?，3，5，7均和8互質(zhì)。

歐拉函數(shù)的證明

歐拉函數(shù)：對(duì)任意大于1的正整數(shù)x，[1, x]范圍內(nèi)與x互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù) f(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2).....(1-1/pn)

其中pi為x所有的質(zhì)因數(shù)（i=1, 2, ... , n）

證明：

當(dāng)x=2時(shí)，僅有1與x互質(zhì)，僅有1個(gè)質(zhì)因數(shù)2，因此f(x)=x(1-1/p1)=2*(1-1/2)=1, 歐拉函數(shù)成立。

當(dāng)x=p^k時(shí)，其中p為質(zhì)數(shù)，k為正整數(shù)，則與x不互質(zhì)的正整數(shù)為p, 2p, ..., x, 即p(1, 2, ..., x/p), 除此之外的數(shù)均與x互質(zhì)，因此互質(zhì)的個(gè)數(shù)為x-x/p=x(1-1/p), 歐拉函數(shù)成立。

當(dāng)x=(p1^k1) * (p2^k2)時(shí)，根據(jù)定理，兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)的歐拉函數(shù)之積等于其積的歐拉函數(shù)，因?yàn)?p1^k1) 與 (p2^k2) 互質(zhì)，因此：

f((p1^k1) * (p2^k2)) = f(p1^k1) *?f(p2^k2) =?p1^k1(1-1/p1) *?p2^k2(1-1/p2) =??(p1^k1) * (p2^k2) *?(1-1/p1) * (1-1/p2)

即 f(x) = x(1-1/p1) * (1-1/p2) ，歐拉函數(shù)成立。

當(dāng)x=(p1^k1) * (p2^k2) * ... *?(pt^kt) , 其中t=3時(shí)，因?yàn)?(p1^k1) 與 (p2^k2) * ... *?(pt^kt) 互質(zhì)，因此

f(x) = f(p1^k1) * f((p2^k2) * ... *?(pt^kt)),?

同理不斷展開，即?

f(x) = f(p1^k1) * f(p2^k2) * ... * f(pt^kt) = (p1^k1) *?(1-1/p1)? *?(p2^k2) *?(1-1/p2) .........? *?(pt^kt) *?(1-1/pt)

? =?(p1^k1) *?(p2^k2) * ... *?(pt^kt) *?(1-1/p1)?*?(1-1/p2) * ....?*?(1-1/pt)?

? = x(1-1/p1) (1-1/p2)? ....? (1-1/pt)

證明完畢

python的math庫有沒有歐拉函數(shù)？

對(duì)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目（因此φ(1)=1）。此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名(Euler’s totient function)，它又稱為Euler’s totient function、φ函數(shù)、歐拉商數(shù)等。cs-dn 例如φ(8)=4，因?yàn)?,3,5,7均和8互質(zhì)。

求歐拉函數(shù)的計(jì)算公式

它于1640年由Descartes首先給出證明，后來Euler(歐拉)于1752年又獨(dú)立地給出證明，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其為Descartes定理，R+V-E=2就是歐拉公式。

在任何一個(gè)規(guī)則球面地圖上，用R記區(qū)域個(gè)數(shù)，V記頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，E記邊界個(gè)數(shù)，則R+V-E=2，這就是歐拉定理。

當(dāng)R=2時(shí)。

由說明1這兩個(gè)區(qū)域可想象為以赤道為邊界的兩個(gè)半球面，赤道上有兩個(gè)“頂點(diǎn)”將赤道分成兩條“邊界”。

即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,歐拉定理成立。

最簡真分?jǐn)?shù)的和歐拉公式

最簡真分?jǐn)?shù)的和歐拉公式，1998=2*3^3*37

在1-1997中

2的倍數(shù)有1998/2-1=998個(gè)

3的倍數(shù)有1998/3-1=665個(gè)

6的倍數(shù)有1998/6-1=332個(gè)

37的倍數(shù)有1998/37-1=53個(gè)

74的倍數(shù)有1998/74-1=26個(gè)

111的倍數(shù)有1998/111-1=17個(gè)

222的倍數(shù)有1998/222-1=8個(gè)

真分?jǐn)?shù)有1997個(gè)

其中，6的倍數(shù)的數(shù)在2和3的倍數(shù)中都算上了即算了兩次，74的倍數(shù)在2和37的倍數(shù)中都算上了即算了兩次，111的倍數(shù)在3和37的倍數(shù)中都算上了即算了兩次，222的倍數(shù)在2 3 6的倍數(shù)中也都算上了，即計(jì)算了三次，所以

最簡真根數(shù)個(gè)數(shù)有1997-998-665-53+332+26+17-8=648個(gè)

根據(jù)歐拉函數(shù)：

φ（1998）=1998*（1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/37)=648

也可算得1998的最簡真分?jǐn)?shù)有648個(gè)。

計(jì)算和：

歐拉函數(shù)φ(n)的公式是：

歐拉函數(shù)φ(n)，表示小于n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，設(shè) n的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)因數(shù)分解式為：n=p1^k1*p2^k2*.......*pt^kt

則 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)……(1-1/pt)

可以證明，當(dāng)＞2時(shí)，小于n且與n互素的正整數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的。即，如果 a 是小于n且與n互素的正整數(shù)，那么 n-a 也一定是小于n且與n互素的正整數(shù)，且這一對(duì)正整數(shù)的和正好是

a+(n-a)=n 。

也就是說，當(dāng)a/1998是一個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)時(shí)，(1998-a)/1998也是一個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)。并且這兩個(gè)數(shù)的和正好是1。

所以，分母是1998的最簡真分?jǐn)?shù)的和是φ（1998）/2=648/2=324.

n的正因數(shù)的個(gè)數(shù)是什么函數(shù)

如果你指的是一個(gè)自然數(shù)n的正因數(shù)個(gè)數(shù)，那這個(gè)函數(shù)就叫做Ω(n)，也稱作歐拉函數(shù)。歐拉函數(shù)表示一個(gè)自然數(shù)n的正因數(shù)個(gè)數(shù)。例如，Ω(6) = 4，因?yàn)?的正因數(shù)有1、2、3和6。

歐拉函數(shù)可以通過如下方法求值：對(duì)于一個(gè)自然數(shù)n，如果它有p1、p2、...、pk個(gè)不同的質(zhì)因子，那么Ω(n) = (p1+1)(p2+1) ... (pk+1)。例如，Ω(6) = (1+1)(2+1) = 2*3 = 4。

希望這個(gè)回答能夠幫到你！

當(dāng)前名稱：歐拉函數(shù)的python 歐拉函數(shù)的計(jì)算公式
文章來源：http://jinyejixie.com/article46/dodojeg.html

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