埃及分?jǐn)?shù)的拆分法

所謂埃及分?jǐn)?shù)分解就是將一個(gè)分?jǐn)?shù)分解成若干個(gè)分子為1的分?jǐn)?shù)之和.如“在114=1()+1()+1()+1()①的(　)內(nèi)填入互不相同的自然數(shù),使等式成立”.對(duì)埃及分?jǐn)?shù)分解的研究很多[1,2],一種通行的解法是:將114的分子分母同乘14的四個(gè)約數(shù)1、2、7、14的和并加以展開.例如,114=1×2414×24=114×24+214×24+714×24+1414×24=1336+1118+148+124.這種方法稱為約數(shù)和分解法.我們知道,按約數(shù)和分解法上例的答案就只有一個(gè).但在學(xué)生的答案中,出現(xiàn)了數(shù)十個(gè)不同的正確答案.這些答案不同于上面的解法,而且找不到共性,這是否是約數(shù)和分解法呢?本文就以這個(gè)題目為例加以探究把真分?jǐn)?shù)表示為埃及分?jǐn)?shù)之和的形式，所謂的埃及分?jǐn)?shù)是指分子為1的分?jǐn)?shù)

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例如：7/8=1/2+1/3+1/24；要求用最少的埃及分?jǐn)?shù)來(lái)表示

解析：設(shè)a、b為互質(zhì)正整數(shù)，ab 分?jǐn)?shù)a/b 可用以下的步驟分解成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和：

步驟一： 用b 除以a，得商數(shù)q1 及余數(shù)r1。（r1=b - a*q1）

步驟二：把a(bǔ)/b 記作：a/b=1/(q1+1）+(a-r)/b(q1+1）

步驟三：重復(fù)步驟2，直到分解完畢

以上其實(shí)是 數(shù)學(xué)家 斐波那契提出的一種求解 埃及分?jǐn)?shù) 的貪心算法，準(zhǔn)確的算法表述應(yīng)該是這樣的：

設(shè)某個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子為a，分母為b;

把b除以a的商部分加1后的值作為埃及分?jǐn)?shù)的某一個(gè)分母c；

將a乘以c再減去b，作為新的a；

將b乘以c，得到新的b；

如果a大于1且能整除b，則最后一個(gè)分母為b/a；算法結(jié)束；

或者，如果a等于1，則，最后一個(gè)分母為b；算法結(jié)束；

分子為1的分?jǐn)?shù)稱為埃及分?jǐn)?shù)，現(xiàn)輸入一個(gè)真分?jǐn)?shù)，使用循環(huán)方法將該分?jǐn)?shù)分解為埃及分?jǐn)?shù)用C語(yǔ)言解答

子為1?的分?jǐn)?shù)稱為埃及分?jǐn)?shù)，現(xiàn)輸入一個(gè)真分?jǐn)?shù)，請(qǐng)將該分?jǐn)?shù)分解為埃及分?jǐn)?shù)。

如：8/11=1/2+1/5+1/55+1/110。

*問(wèn)題分析與算法設(shè)計(jì)

若真分?jǐn)?shù)的分子a能整除分母b，則真分?jǐn)?shù)經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)就可以得到埃及分?jǐn)?shù)，若真分?jǐn)?shù)的分子不能整除分母，則可以從原來(lái)的分?jǐn)?shù)中分解出一個(gè)分母為b/a+1的埃及分?jǐn)?shù)。用這種方法將剩余部分反復(fù)分解，最后可得到結(jié)果。

*程序說(shuō)明與注釋

/*注：對(duì)源程序作稍許修改，主要是添加了一個(gè)外循環(huán)，可以直接計(jì)算多個(gè)真分?jǐn)?shù)的埃及分?jǐn)?shù)，按Ctrl-C退出。具體的算法我沒有認(rèn)真看，有問(wèn)題請(qǐng)?zhí)岢?，謝謝*/

#include

int?main(void)

{

long?int?a,b,c;

while(true)

{

printf("Please?enter?a?optional?fraction(a/b):");

scanf("%ld/%ld",a,b);?/*輸入分子a和分母b*/

printf("It?can?be?decomposed?to:");

while(true)

{

if(b%a)?/*若分子不能整除分母*/

c=b/a+1;?/*則分解出一個(gè)分母為b/a+1的埃及分?jǐn)?shù)*/

else{?c=b/a;?a=1;}?/*否則，輸出化簡(jiǎn)后的真分?jǐn)?shù)(埃及分?jǐn)?shù))*/

if(a==1)

{

printf("1/%ld\n",c);

break;?/*a為1標(biāo)志結(jié)束*/

}

else

printf("1/%ld?+?",c);

a=a*c-b;?/*求出余數(shù)的分子*/

b=b*c;?/*求出余數(shù)的分母*/

if(a==3)?/*若余數(shù)為3，輸出最后兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)*/

{?printf("1/%ld?+?1/%ld\n",b/2,b);?break;}

}

}

return?0;

}

*運(yùn)行結(jié)果

Please?enter?a?optional?fraction?(a/b):?1/6

It?can?be?decomposed?to:?1/6

Please?enter?a?optional?fraction?(a/b):?20/33

It?can?be?decomposed?to:?1/2+1/10+1/165

Please?enter?a?optional?fraction?(a/b):?10/89

It?can?be?decomposed?to:?1/9+1/801

Please?enter?a?optional?fraction?(a/b):?19/99

It?can?be?decomposed?to:?1/6+1/40+1/3960

Please?enter?a?optional?fraction?(a/b):?8/87

It?can?be?decomposed?to:?1/11+1/957

……（按ctrl-c退出）

c語(yǔ)言 埃及分?jǐn)?shù)

#include stdio.h

void main()

{

int a,b,c,d;

printf("please input ab:\n");

scanf("%d%d",a,b);

c=b/a+1;

printf("%d/%d=1/%d",a,b,c);

while(a!=1)

{

a=a*c-b;

b=b*c;

c=b/a+1;

if(a!=3)

printf("+1/%d",c);

else

{d=b/2;

printf("+1/%d+1/%d",d,b);

getch();

}

}

}

搞定了，你的（a！=3）條件放錯(cuò)了，呵呵，好好看看，是不？

判斷完了以后才得到的a=3；所以那個(gè)C還是要打印的。

如何將一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成若干埃及分?jǐn)?shù)之和的形式

學(xué)會(huì)分解，自己手工操作吧，

1/m=1/(m+d)+1/(m+m^2/d) d是m的因數(shù)，找到一個(gè)因數(shù)，就可以得到一個(gè)分解，（可能有重復(fù)的）d=1就是常用的：1/m=1/(m+1)+1/【m（m+1）】

也可以用貪心算法

新聞標(biāo)題：貪心埃及分?jǐn)?shù)函數(shù)c語(yǔ)言 C語(yǔ)言埃及分?jǐn)?shù)
本文路徑：http://jinyejixie.com/article44/dodoehe.html

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