莫比烏斯的個(gè)人簡(jiǎn)介

莫比烏斯，德國人，1790年11月出生，數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，被認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)的先驅(qū)。莫比烏斯最著名的成就是發(fā)現(xiàn)了三維歐幾里德空間中的一種奇特的二維單面環(huán)狀結(jié)構(gòu)——后人稱為莫比烏斯帶。其他重要的成就包括在射影幾何中引進(jìn)齊次坐標(biāo)系、莫比烏斯變換（Moebius Transformations），數(shù)論中的莫比烏斯變換（Moebius transform）、莫比烏斯函數(shù)、莫比烏斯反演公式（Moebius inversion formula）等等。

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莫比烏斯最初學(xué)法學(xué)，1809年轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué) 。從1809年到1814年他在萊比錫大學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)并獲博士學(xué)位。1814年在萊比錫任天文學(xué)教師 。1815年他獲得教授資格，一年后在高斯的推薦下成為特級(jí)教授和萊比錫天文臺(tái)的觀測(cè)員。1846年他成為王家薩克森科學(xué)院建立成員之一。1848年他成為萊比錫天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng) 。1868年9月26日逝世于萊比錫。莫比烏斯的父親約翰·海因里?！つ葹跛故悄夏繁じ浇粋€(gè)小鎮(zhèn)上的舞蹈教師，他在莫比烏斯三歲時(shí)逝世。莫比烏斯的母親是宗教改革領(lǐng)袖馬丁·路德的后裔。

莫比烏斯的數(shù)學(xué)名著是1827年的《重心的計(jì)算》。[1-2] 該書引入了射影幾何和仿射幾何的若干基本概念，并以淺顯易懂和清晰嚴(yán)格的論述表達(dá)了這一新的理論。他用齊次坐標(biāo)表示空間的點(diǎn)，對(duì)于重量分別為a、b、c、d的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D給出了點(diǎn)系重心S的坐標(biāo)關(guān)系式：（a+b+c+d）s=aA+bB+cC+dD。另外他引入了直射變換概念，即將直線變?yōu)橹本€的變換，接著證明了每一個(gè)直線變換都是一個(gè)射影變換。還指出射束中四條線的交比可以用頂點(diǎn)P處各個(gè)角的正弦來表示，并推出這個(gè)表示法的值與任何斜截線所得的四個(gè)點(diǎn)的交比是相同的，由此證明了交比在截影與投影下的不變性。

μ怎么讀？

μ是希臘字母，英語音標(biāo)注音：/mju:/

英文：mu

希臘字母源于腓尼基字母，腓尼基字母只有輔音，從右向左寫，希臘語言元音發(fā)達(dá)，希臘人增添了元音字母。俄語、烏克蘭語等使用的西里爾字母和格魯吉亞語字母都是由希臘字母發(fā)展而來。

它的語源是希臘語 μικρ?? (mikrós)，代表符號(hào)是希臘字母μ (mu)。在只能用拉丁字母表達(dá)的情況下，國際單位制允許用字母u代替，比如um代替μm。在一些特定的場(chǎng)合，比如藥房，微克經(jīng)常記作mcg，然而這種記法并不符合標(biāo)準(zhǔn)。

μ代表：

1、數(shù)論中的莫比烏斯函數(shù)

2、表示模的環(huán)表示

3、概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中總體的平均數(shù)或期望值

4、測(cè)度論中的一個(gè)測(cè)度

5、微, 一個(gè)國際單位制詞頭，表示 10-6（百萬分之一）

6、物理學(xué)中的動(dòng)摩擦因數(shù)

7、等候理論中的服務(wù)效率

8、物理學(xué)中的黏度

9、電磁學(xué)中的磁導(dǎo)率

10、μ子

11、約化質(zhì)量

12、凝聚態(tài)物理學(xué)中的化學(xué)勢(shì)

13、藥理學(xué)中，使得與其結(jié)合的腦內(nèi)啡有最高的親和勢(shì)的受體。

14、貨幣單位，約等于10萬人民幣

黎曼猜想到底是什么意思？

2018年，89歲高齡的菲爾茲獎(jiǎng)得主邁克爾·阿蒂亞爵士舉行了最后一次公開的數(shù)學(xué)報(bào)告：

這個(gè)報(bào)告是關(guān)于“黎曼猜想”的證明，報(bào)告結(jié)束后僅僅三個(gè)月，老爺子就溘然長(zhǎng)逝。

這次報(bào)告到底是不是證明了“黎曼猜想”，我沒有資格評(píng)論，這需要數(shù)學(xué)界內(nèi)部進(jìn)行審查。哪怕就算結(jié)果錯(cuò)的，也有可能指出新的突破方向，這在數(shù)學(xué)史上也層出不窮。留待學(xué)界、時(shí)間來檢驗(yàn)吧。

但是，黎曼猜想：

函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是

到底說了什么，能讓這位耄耋老人在生命的最后一刻依然向它發(fā)起沖鋒；讓一代代的數(shù)學(xué)家為之魂系夢(mèng)繞（大數(shù)學(xué)家希爾伯特就說過，如果他能復(fù)活，第一件事情就是要問問，黎曼猜想證明了嗎？）。

逝者安息，生者傳承，下面就以我們的方式盡量數(shù)普一下黎曼猜想，把老爺子這份執(zhí)著傳遞一二，把無數(shù)數(shù)學(xué)家的這份執(zhí)著傳遞一二...

1 素?cái)?shù)

大于1的自然數(shù)中，除了1和該數(shù)自身外，無法被其他自然數(shù)整除的數(shù)稱為 素?cái)?shù)（Prime Number），比如 2，3，5，7，11...

我們知道素?cái)?shù)是無窮的（ 歐幾里得定理 ），也可以通過 埃拉托斯特尼篩法 篩出有限個(gè)的素?cái)?shù)：

但對(duì)于素?cái)?shù)的整體了解依然非常少，素?cái)?shù)似乎是完全隨機(jī)地?fù)诫s在自然數(shù)當(dāng)中的一樣，下面是1000以內(nèi)的素?cái)?shù)表，看上去也沒有什么規(guī)律（你說它越來越稀疏吧，877，881，883，887又突然連著出現(xiàn)4個(gè)素?cái)?shù)，和10以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)一樣多）：

別說素?cái)?shù)的精確分布了，就是隨機(jī)抽取一個(gè)足夠大的自然數(shù)出來，要檢驗(yàn)它是否是素?cái)?shù)都需要經(jīng)過一番艱苦的計(jì)算。

以研究素?cái)?shù)為核心的數(shù)論，在數(shù)學(xué)家眼中就是：

你可能會(huì)有疑問，研究素?cái)?shù)干嘛？可以改善生活嗎？提高壽命嗎？糧食增產(chǎn)嗎？移民火星嗎？

當(dāng)然可以給出現(xiàn)實(shí)的理由，比如流行的區(qū)塊鏈中的加密算法就依賴于素?cái)?shù)分布的一些理論。但是隨著了解的深入，我發(fā)現(xiàn)對(duì)于數(shù)學(xué)家而言這些根本不重要，不足以構(gòu)成驅(qū)使他們前進(jìn)的動(dòng)力。正如有人詢問著名登山家喬治·馬洛里“為什么要登山”，馬洛里回答道：“因?yàn)樯皆谀抢铩保?/p>

數(shù)學(xué)家研究素?cái)?shù)的理由很簡(jiǎn)單，因?yàn)樗谀抢铩?shù)論可能才是最純粹的數(shù)學(xué)，才是數(shù)學(xué)的初心

2 素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)

先根據(jù)之前給出的素?cái)?shù)表繪制一個(gè)函數(shù)圖像：

縱坐標(biāo)表示的是 以內(nèi)素?cái)?shù)的 個(gè)數(shù)。比如從圖像上可以看出：

這個(gè)意思就是10 以內(nèi)有4個(gè)素?cái)?shù)（我們知道分別是2，3，5，7）。這個(gè)? 被稱為 素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)。（Prime-counting function）。

得到素?cái)?shù)的精確分布目前還屬于天方夜譚，數(shù)學(xué)家就退而求其次，想知道 到底是多少？這就是幾千年來素?cái)?shù)研究的核心問題。

3 素?cái)?shù)定理

高斯和勒讓德猜測(cè)：

后來又有改進(jìn)的猜測(cè)：

把這三個(gè)函數(shù)圖像放在一起，看上去好像確實(shí)可以看作近似，并且后者近似還要好一些：

這兩個(gè)猜測(cè)尤其是后者，都可以稱為 素?cái)?shù)定理 （The Prime Theory），只是此時(shí)還沒有證明。

4 《論小于一個(gè)給定值的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)》

格奧爾格·弗雷德里?！げǘ鞴隆だ杪?826－1866）德國數(shù)學(xué)家，黎曼幾何學(xué)創(chuàng)始人，復(fù)變函數(shù)論創(chuàng)始人之一：

1859年黎曼被任命為柏林科學(xué)院的通訊院士，作為見面禮，黎曼提交了他唯一關(guān)于數(shù)論的論文，也是唯一完全不包含幾何概念的論文，《論小于一個(gè)給定值的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)》：

這篇論文總共只有 9頁 ，卻可以名列最難讀的論文之列（黎曼顯然高估了閱讀者的水平，其中不少結(jié)論都沒有給出證明，因?yàn)樗X得不證自明、一目了然。但是事實(shí)是，比如其中證明的一小步，都花費(fèi)了后人46年的時(shí)間才證明出來），同時(shí)又是素?cái)?shù)研究領(lǐng)域最重要的一篇論文。

聽這個(gè)論文的名字也知道這篇論文是關(guān)于 的，確實(shí)，在這篇文章中，黎曼居然給出了素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的準(zhǔn)確表達(dá)式：

先不管這個(gè)函數(shù)的細(xì)節(jié)，看到?jīng)]，黎曼壓根就沒有理會(huì)什么素?cái)?shù)定理，直接給出了 的精確表達(dá)式，這就是王霸之氣，不玩擦邊球，來就直搗黃龍，解決主帥。

5 黎曼猜想

的表達(dá)式并不簡(jiǎn)單。想想也可以理解，要是初等數(shù)學(xué)就可以解決的問題，很可能早就被歐拉、高斯這兩位數(shù)學(xué)守門員（形容不要想在這兩位大神手里撿漏）給征服了。

重復(fù)一下， 長(zhǎng)這樣：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

這個(gè)函數(shù)分為兩部分：? ??

黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)：就是式子中的 ，下面是它的代數(shù)表達(dá)式:

實(shí)際上是黎曼給出的對(duì) 的近似，也稱作? 黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)? ，這個(gè)代數(shù)表達(dá)式的含義之后會(huì)細(xì)說

修正項(xiàng)：也就是：

???

稱為莫比烏斯函數(shù)，具體的代數(shù)表達(dá)式如下：

整個(gè)式子的意思: 通過修正項(xiàng)調(diào)整之后，黎曼給出的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù) 就完全等于 。

5.1? 函數(shù)與非平凡零點(diǎn)

要把 介紹清楚，先得引入一個(gè)? ?函數(shù):

???

為什么自變量用 ，不用 呢？因?yàn)檫@是定義在復(fù)數(shù)域上的函數(shù)，即 ，而復(fù)數(shù)域習(xí)慣用 來表示自變量（之前介紹過，實(shí)數(shù)的問題如果解決不了， 可以嘗試升維到復(fù)數(shù)中去 ）。

如果嘗試解下面與? 函數(shù)相關(guān)的方程：

?

這個(gè)方程的解有無數(shù)多個(gè)，可以分為兩類：

1.平凡解： ，也就是所有負(fù)偶數(shù)。這個(gè)解看上去就比較簡(jiǎn)單，也很容易求，所以叫做平凡解，也叫做 函數(shù)的平凡零點(diǎn)。

2.非平凡解： ，也就是復(fù)數(shù)解。這類解就很復(fù)雜，現(xiàn)在都沒有求出所有的解，而且估計(jì)求出這所有解的難度不亞于求出素?cái)?shù)的精確分布，目前只是通過暴力運(yùn)算求出了一些。所以叫做非平凡解，也叫做 函數(shù)的 非平凡零點(diǎn)。

至此，黎曼猜想中最重要的兩個(gè)名詞都出現(xiàn)了： 函數(shù)、非平凡零點(diǎn)。

5.2 黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)

好，回頭再來看 :

???

這個(gè)函數(shù)有4部分：

1. :這個(gè)是之前提到過的，關(guān)于 的一個(gè)近似

2. :??? 就是指的 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)，就是把所有非平凡零點(diǎn)的? ?加起來

3. :? ?這是一個(gè)常數(shù)

4.? :? ? ?越大，這項(xiàng)越趨近于0，在時(shí)取得最大值 ，也不是很重要

之前也說了， 本身就是對(duì) 的近似，從下面動(dòng)圖也可以看出，越多的非平凡零點(diǎn) 參與運(yùn)算（通過暴力計(jì)算得到）， 越貼合 ，近似效果比素?cái)?shù)定理要好得多：

5.3 黎曼猜想

通過上面的分析，如果可以知道 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn) ，那么就可以得到精確的 。但是非平凡零點(diǎn) 求解的難度似乎不亞于得到素?cái)?shù)精確分布的難度，怎么辦？

如果知道 的范圍也可以（下面 表示 的實(shí)部）：

1. 如果 :那么素?cái)?shù)定理成立，這已經(jīng)被證明了，歷史上素?cái)?shù)定理最初也是據(jù)此證明出來

2.如果 : 其實(shí)就是黎曼猜想的另外一種描述。

如果黎曼猜想成立的，那就可以證出：

???

也就是知道素?cái)?shù)定理中的 到底與真正的 有多大的誤差。

證明了黎曼猜想就在素?cái)?shù)分布上進(jìn)了一大步。但這只是開始，離真正的素?cái)?shù)分布還差得很遠(yuǎn)。

6 《素?cái)?shù)之戀》

希望大家讀完這篇文章可以對(duì)黎曼猜想有一個(gè)粗糙的了解，當(dāng)然還有很多的疑問：

??? 函數(shù)的非平凡零點(diǎn) 怎么就和素?cái)?shù)的分布有關(guān)系？

??? 函數(shù)是怎么擴(kuò)張到復(fù)數(shù)域的？

為什么黎曼會(huì)猜想 ？

??? 怎么就長(zhǎng)那個(gè)樣子？

??? 定義成這樣有什么動(dòng)機(jī)？

關(guān)于非平凡零點(diǎn) 目前我們知道哪些？

.......

你可以把這篇文章看作一個(gè)大綱，或者《素?cái)?shù)之戀》的讀書筆記，所有的細(xì)節(jié)基本上都可以在這本書中找到。這本書也是我覺得寫得最好的關(guān)于黎曼猜想的書。

7 寫在后面的

黎曼這篇天才論文開辟了一個(gè)時(shí)代，其中很多結(jié)論雖然未經(jīng)證明，但對(duì)于數(shù)學(xué)家這不啻于一座寶藏。

黎曼其人，出生貧寒，又遇上歐洲動(dòng)蕩、秩序重建，貴族自身難保，使得他很難像以往天才數(shù)學(xué)家一樣可以獲得貴族的資助。貧病交加之下黎曼40歲就因肺結(jié)核去世。仿佛天妒英才，上帝好像不想讓人類過早地就拆穿了它所有的秘密。

如果黎曼活得長(zhǎng)一些，說不定黎曼猜想就可以在他自己手中解決。不過不管怎樣，素?cái)?shù)的秘密，正如希爾伯特所說，“我們必須知道，我們必將知道”：

原文鏈接? 馬同學(xué)高等數(shù)學(xué)-黎曼猜想到底是什么意思?

關(guān)于莫比烏斯反演(Mobius Inversion)的證明，需詳細(xì)解釋

用乘法分配率把每一個(gè)m(d)分配進(jìn)每個(gè)g(d')，然后再重新提取每一個(gè)g(d') 而前面的系數(shù)為m(d)，其中d滿足d | (n/d')

所以這些加起來就是sigma[ d | n/d' ] ( m(d) )

舉個(gè)例子當(dāng) n = 10

d = 1 d‘ = 1,2,5,10 m(1)g(1) + m(1)g(2) + m(1)g(5) + m(1)g(10)

d = 2 d‘ = 1,5 m(2)g(1) + m(2)g(5)

d = 5 d' = 1,2 m(5)g(1) + m(5)g(2)

d = 10 d' = 1 m(10)g(1)

新聞名稱：關(guān)于莫比烏斯函數(shù)python的信息
文章地址：http://jinyejixie.com/article32/dsedesc.html

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