用python怎么求任意正整數(shù)二進(jìn)制形式最后連續(xù)個(gè)數(shù)

1、使用python的運(yùn)算法。

專(zhuān)注于為中小企業(yè)提供網(wǎng)站設(shè)計(jì)制作、網(wǎng)站設(shè)計(jì)服務(wù),電腦端+手機(jī)端+微信端的三站合一,更高效的管理,為中小企業(yè)陽(yáng)新免費(fèi)做網(wǎng)站提供優(yōu)質(zhì)的服務(wù)。我們立足成都，凝聚了一批互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)人才，有力地推動(dòng)了千余家企業(yè)的穩(wěn)健成長(zhǎng)，幫助中小企業(yè)通過(guò)網(wǎng)站建設(shè)實(shí)現(xiàn)規(guī)模擴(kuò)充和轉(zhuǎn)變。

2、x和1進(jìn)行“按位與運(yùn)算”，因?yàn)?只有最后一位是1，其他位都是0。

3、x1的時(shí)候，只要x的最后一位是1，結(jié)果都會(huì)是1，因?yàn)閤前面的位和0進(jìn)行與運(yùn)算結(jié)果一定是0。

4、然后再把x向右移一位，去掉最后一個(gè)位的數(shù)字，再重復(fù)上述計(jì)算，統(tǒng)計(jì)1的個(gè)數(shù)即可。

Python怎么做最優(yōu)化

最優(yōu)化

為什么要做最優(yōu)化呢？因?yàn)樵谏钪?，人們總是希望幸福值或其它達(dá)到一個(gè)極值，比如做生意時(shí)希望成本最小，收入最大，所以在很多商業(yè)情境中，都會(huì)遇到求極值的情況。

函數(shù)求根

這里「函數(shù)的根」也稱(chēng)「方程的根」，或「函數(shù)的零點(diǎn)」。

先把我們需要的包加載進(jìn)來(lái)。import numpy as npimport scipy as spimport scipy.optimize as optimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inline

函數(shù)求根和最優(yōu)化的關(guān)系？什么時(shí)候函數(shù)是最小值或最大值？

兩個(gè)問(wèn)題一起回答：最優(yōu)化就是求函數(shù)的最小值或最大值，同時(shí)也是極值，在求一個(gè)函數(shù)最小值或最大值時(shí)，它所在的位置肯定是導(dǎo)數(shù)為 0 的位置，所以要求一個(gè)函數(shù)的極值，必然要先求導(dǎo)，使其為 0，所以函數(shù)求根就是為了得到最大值最小值。

scipy.optimize 有什么方法可以求根？

可以用 scipy.optimize 中的 bisect 或 brentq 求根。f = lambda x: np.cos(x) - x # 定義一個(gè)匿名函數(shù)x = np.linspace(-5, 5, 1000) # 先生成 1000 個(gè) xy = f(x) # 對(duì)應(yīng)生成 1000 個(gè) f(x)plt.plot(x, y); # 看一下這個(gè)函數(shù)長(zhǎng)什么樣子plt.axhline(0, color='k'); # 畫(huà)一根橫線，位置在 y=0

opt.bisect(f, -5, 5) # 求取函數(shù)的根0.7390851332155535plt.plot(x, y)plt.axhline(0, color='k')plt.scatter([_], [0], c='r', s=100); # 這里的 [_] 表示上一個(gè) Cell 中的結(jié)果，這里是 x 軸上的位置，0 是 y 上的位置

求根有兩種方法，除了上面介紹的 bisect，還有 brentq，后者比前者快很多。%timeit opt.bisect(f, -5, 5)%timeit opt.brentq(f, -5, 5)10000 loops, best of 3: 157 s per loopThe slowest run took 11.65 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.10000 loops, best of 3: 35.9 s per loop

函數(shù)求最小化

求最小值就是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題。求最大值時(shí)只需對(duì)函數(shù)做一個(gè)轉(zhuǎn)換，比如加一個(gè)負(fù)號(hào)，或者取倒數(shù)，就可轉(zhuǎn)成求最小值問(wèn)題。所以?xún)烧呤峭粏?wèn)題。

初始值對(duì)最優(yōu)化的影響是什么？

舉例來(lái)說(shuō)，先定義個(gè)函數(shù)。f = lambda x: 1-np.sin(x)/xx = np.linspace(-20., 20., 1000)y = f(x)

當(dāng)初始值為 3 值，使用 minimize 函數(shù)找到最小值。minimize 函數(shù)是在新版的 scipy 里，取代了以前的很多最優(yōu)化函數(shù)，是個(gè)通用的接口，背后是很多方法在支撐。x0 = 3xmin = opt.minimize(f, x0).x # x0 是起始點(diǎn)，起始點(diǎn)最好離真正的最小值點(diǎn)不要太遠(yuǎn)plt.plot(x, y)plt.scatter(x0, f(x0), marker='o', s=300); # 起始點(diǎn)畫(huà)出來(lái)，用圓圈表示plt.scatter(xmin, f(xmin), marker='v', s=300); # 最小值點(diǎn)畫(huà)出來(lái)，用三角表示plt.xlim(-20, 20);

初始值為 3 時(shí)，成功找到最小值。

現(xiàn)在來(lái)看看初始值為 10 時(shí)，找到的最小值點(diǎn)。x0 = 10xmin = opt.minimize(f, x0).xplt.plot(x, y)plt.scatter(x0, f(x0), marker='o', s=300)plt.scatter(xmin, f(xmin), marker='v', s=300)plt.xlim(-20, 20);

由上圖可見(jiàn)，當(dāng)初始值為 10 時(shí)，函數(shù)找到的是局部最小值點(diǎn)，可見(jiàn) minimize 的默認(rèn)算法對(duì)起始點(diǎn)的依賴(lài)性。

那么怎么才能不管初始值在哪個(gè)位置，都能找到全局最小值點(diǎn)呢？

如何找到全局最優(yōu)點(diǎn)？

可以使用 basinhopping 函數(shù)找到全局最優(yōu)點(diǎn)，相關(guān)背后算法，可以看幫助文件，有提供論文的索引和出處。

我們?cè)O(shè)初始值為 10 看是否能找到全局最小值點(diǎn)。x0 = 10from scipy.optimize import basinhoppingxmin = basinhopping(f,x0,stepsize = 5).xplt.plot(x, y);plt.scatter(x0, f(x0), marker='o', s=300);plt.scatter(xmin, f(xmin), marker='v', s=300);plt.xlim(-20, 20);

當(dāng)起始點(diǎn)在比較遠(yuǎn)的位置，依然成功找到了全局最小值點(diǎn)。

如何求多元函數(shù)最小值？

以二元函數(shù)為例，使用 minimize 求對(duì)應(yīng)的最小值。def g(X): x,y = X return (x-1)**4 + 5 * (y-1)**2 - 2*x*yX_opt = opt.minimize(g, (8, 3)).x # (8,3) 是起始點(diǎn)print X_opt[ 1.88292611 1.37658521]fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4)) # 定義畫(huà)布和圖形x_ = y_ = np.linspace(-1, 4, 100)X, Y = np.meshgrid(x_, y_)c = ax.contour(X, Y, g((X, Y)), 50) # 等高線圖ax.plot(X_opt[0], X_opt[1], 'r*', markersize=15) # 最小點(diǎn)的位置是個(gè)元組ax.set_xlabel(r"$x_1$", fontsize=18)ax.set_ylabel(r"$x_2$", fontsize=18)plt.colorbar(c, ax=ax) # colorbar 表示顏色越深，高度越高fig.tight_layout()

畫(huà)3D 圖。from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom matplotlib import cmfig = plt.figure()ax = fig.gca(projection='3d')x_ = y_ = np.linspace(-1, 4, 100)X, Y = np.meshgrid(x_, y_)surf = ax.plot_surface(X, Y, g((X,Y)), rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm, linewidth=0, antialiased=False)cset = ax.contour(X, Y, g((X,Y)), zdir='z',offset=-5, cmap=cm.coolwarm)fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5);

曲線擬合

曲線擬合和最優(yōu)化有什么關(guān)系？

曲線擬合的問(wèn)題是，給定一組數(shù)據(jù)，它可能是沿著一條線散布的，這時(shí)要找到一條最優(yōu)的曲線來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)，也就是要找到最好的線來(lái)代表這些點(diǎn)，這里的最優(yōu)是指這些點(diǎn)和線之間的距離是最小的，這就是為什么要用最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)解決曲線擬合問(wèn)題。

舉例說(shuō)明，給一些點(diǎn)，找到一條線，來(lái)擬合這些點(diǎn)。

先給定一些點(diǎn)：N = 50 # 點(diǎn)的個(gè)數(shù)m_true = 2 # 斜率b_true = -1 # 截距dy = 2.0 # 誤差np.random.seed(0)xdata = 10 * np.random.random(N) # 50 個(gè) x，服從均勻分布ydata = np.random.normal(b_true + m_true * xdata, dy) # dy 是標(biāo)準(zhǔn)差plt.errorbar(xdata, ydata, dy, fmt='.k', ecolor='lightgray');

上面的點(diǎn)整體上呈現(xiàn)一個(gè)線性關(guān)系，要找到一條斜線來(lái)代表這些點(diǎn)，這就是經(jīng)典的一元線性回歸。目標(biāo)就是找到最好的線，使點(diǎn)和線的距離最短。要優(yōu)化的函數(shù)是點(diǎn)和線之間的距離，使其最小。點(diǎn)是確定的，而線是可變的，線是由參數(shù)值，斜率和截距決定的，這里就是要通過(guò)優(yōu)化距離找到最優(yōu)的斜率和截距。

點(diǎn)和線的距離定義如下：def chi2(theta, x, y): return np.sum(((y - theta[0] - theta[1] * x)) ** 2)

上式就是誤差平方和。

誤差平方和是什么？有什么作用？

誤差平方和公式為：

誤差平方和大，表示真實(shí)的點(diǎn)和預(yù)測(cè)的線之間距離太遠(yuǎn)，說(shuō)明擬合得不好，最好的線，應(yīng)該是使誤差平方和最小，即最優(yōu)的擬合線，這里是條直線。

誤差平方和就是要最小化的目標(biāo)函數(shù)。

找到最優(yōu)的函數(shù)，即斜率和截距。theta_guess = [0, 1] # 初始值theta_best = opt.minimize(chi2, theta_guess, args=(xdata, ydata)).xprint(theta_best)[-1.01442005 1.93854656]

上面兩個(gè)輸出即是預(yù)測(cè)的直線斜率和截距，我們是根據(jù)點(diǎn)來(lái)反推直線的斜率和截距，那么真實(shí)的斜率和截距是多少呢？-1 和 2，很接近了，差的一點(diǎn)是因?yàn)橛性胍舻囊?。xfit = np.linspace(0, 10)yfit = theta_best[0] + theta_best[1] * xfitplt.errorbar(xdata, ydata, dy, fmt='.k', ecolor='lightgray');plt.plot(xfit, yfit, '-k');

最小二乘（Least Square）是什么？

上面用的是 minimize 方法，這個(gè)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是誤差平方和，這就又有一個(gè)特定的解法，即最小二乘。

最小二乘的思想就是要使得觀測(cè)點(diǎn)和估計(jì)點(diǎn)的距離的平方和達(dá)到最小，這里的“二乘”指的是用平方來(lái)度量觀測(cè)點(diǎn)與估計(jì)點(diǎn)的遠(yuǎn)近（在古漢語(yǔ)中“平方”稱(chēng)為“二乘”），“最小”指的是參數(shù)的估計(jì)值要保證各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與估計(jì)點(diǎn)的距離的平方和達(dá)到最小。

關(guān)于最小二乘估計(jì)的計(jì)算，涉及更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，這里不想詳述，其一般的過(guò)程是用目標(biāo)函數(shù)對(duì)各參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于 0，得到一個(gè)線性方程組。具體推導(dǎo)過(guò)程可參考斯坦福機(jī)器學(xué)習(xí)講義 第 7 頁(yè)。def deviations(theta, x, y): return (y - theta[0] - theta[1] * x)theta_best, ier = opt.leastsq(deviations, theta_guess, args=(xdata, ydata))print(theta_best)[-1.01442016 1.93854659]

最小二乘 leastsq 的結(jié)果跟 minimize 結(jié)果一樣。注意 leastsq 的第一個(gè)參數(shù)不再是誤差平方和 chi2，而是誤差本身 deviations，即沒(méi)有平方，也沒(méi)有和。yfit = theta_best[0] + theta_best[1] * xfitplt.errorbar(xdata, ydata, dy, fmt='.k', ecolor='lightgray');plt.plot(xfit, yfit, '-k');

非線性最小二乘

上面是給一些點(diǎn)，擬合一條直線，擬合一條曲線也是一樣的。def f(x, beta0, beta1, beta2): # 首先定義一個(gè)非線性函數(shù)，有 3 個(gè)參數(shù) return beta0 + beta1 * np.exp(-beta2 * x**2)beta = (0.25, 0.75, 0.5) # 先猜 3 個(gè) betaxdata = np.linspace(0, 5, 50)y = f(xdata, *beta)ydata = y + 0.05 * np.random.randn(len(xdata)) # 給 y 加噪音def g(beta): return ydata - f(xdata, *beta) # 真實(shí) y 和 預(yù)測(cè)值的差，求最優(yōu)曲線時(shí)要用到beta_start = (1, 1, 1)beta_opt, beta_cov = opt.leastsq(g, beta_start)print beta_opt # 求到的 3 個(gè)最優(yōu)的 beta 值[ 0.25525709 0.74270226 0.54966466]

拿估計(jì)的 beta_opt 值跟真實(shí)的 beta = (0.25, 0.75, 0.5) 值比較，差不多。fig, ax = plt.subplots()ax.scatter(xdata, ydata) # 畫(huà)點(diǎn)ax.plot(xdata, y, 'r', lw=2) # 真實(shí)值的線ax.plot(xdata, f(xdata, *beta_opt), 'b', lw=2) # 擬合的線ax.set_xlim(0, 5)ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=18)ax.set_ylabel(r"$f(x, \beta)$", fontsize=18)fig.tight_layout()

除了使用最小二乘，還可以使用曲線擬合的方法，得到的結(jié)果是一樣的。beta_opt, beta_cov = opt.curve_fit(f, xdata, ydata)print beta_opt[ 0.25525709 0.74270226 0.54966466]

有約束的最小化

有約束的最小化是指，要求函數(shù)最小化之外，還要滿(mǎn)足約束條件，舉例說(shuō)明。

邊界約束def f(X): x, y = X return (x-1)**2 + (y-1)**2 # 這是一個(gè)碗狀的函數(shù)x_opt = opt.minimize(f, (0, 0), method='BFGS').x # 無(wú)約束最優(yōu)化

假設(shè)有約束條件，x 和 y 要在一定的范圍內(nèi)，如 x 在 2 到 3 之間，y 在 0 和 2 之間。bnd_x1, bnd_x2 = (2, 3), (0, 2) # 對(duì)自變量的約束x_cons_opt = opt.minimize(f, np.array([0, 0]), method='L-BFGS-B', bounds=[bnd_x1, bnd_x2]).x # bounds 矩形約束fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4))x_ = y_ = np.linspace(-1, 3, 100)X, Y = np.meshgrid(x_, y_)c = ax.contour(X, Y, f((X,Y)), 50)ax.plot(x_opt[0], x_opt[1], 'b*', markersize=15) # 沒(méi)有約束下的最小值，藍(lán)色五角星ax.plot(x_cons_opt[0], x_cons_opt[1], 'r*', markersize=15) # 有約束下的最小值，紅色星星bound_rect = plt.Rectangle((bnd_x1[0], bnd_x2[0]), bnd_x1[1] - bnd_x1[0], bnd_x2[1] - bnd_x2[0], facecolor="grey")ax.add_patch(bound_rect)ax.set_xlabel(r"$x_1$", fontsize=18)ax.set_ylabel(r"$x_2$", fontsize=18)plt.colorbar(c, ax=ax)fig.tight_layout()

不等式約束

介紹下相關(guān)理論，先來(lái)看下存在等式約束的極值問(wèn)題求法，比如下面的優(yōu)化問(wèn)題。

目標(biāo)函數(shù)是 f(w)，下面是等式約束，通常解法是引入拉格朗日算子，這里使用 ββ 來(lái)表示算子，得到拉格朗日公式為

l 是等式約束的個(gè)數(shù)。

然后分別對(duì) w 和ββ 求偏導(dǎo)，使得偏導(dǎo)數(shù)等于 0，然后解出 w 和βiβi，至于為什么引入拉格朗日算子可以求出極值，原因是 f(w) 的 dw 變化方向受其他不等式的約束，dw的變化方向與f(w)的梯度垂直時(shí)才能獲得極值，而且在極值處，f(w) 的梯度與其他等式梯度的線性組合平行，因此他們之間存在線性關(guān)系。（參考《最優(yōu)化與KKT條件》）

對(duì)于不等式約束的極值問(wèn)題

常常利用拉格朗日對(duì)偶性將原始問(wèn)題轉(zhuǎn)換為對(duì)偶問(wèn)題，通過(guò)解對(duì)偶問(wèn)題而得到原始問(wèn)題的解。該方法應(yīng)用在許多統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法中。有興趣的可以參閱相關(guān)資料，這里不再贅述。def f(X): return (X[0] - 1)**2 + (X[1] - 1)**2def g(X): return X[1] - 1.75 - (X[0] - 0.75)**4x_opt = opt.minimize(f, (0, 0), method='BFGS').xconstraints = [dict(type='ineq', fun=g)] # 約束采用字典定義，約束方式為不等式約束，邊界用 g 表示x_cons_opt = opt.minimize(f, (0, 0), method='SLSQP', constraints=constraints).xfig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4))x_ = y_ = np.linspace(-1, 3, 100)X, Y = np.meshgrid(x_, y_)c = ax.contour(X, Y, f((X, Y)), 50)ax.plot(x_opt[0], x_opt[1], 'b*', markersize=15) # 藍(lán)色星星，沒(méi)有約束下的最小值ax.plot(x_, 1.75 + (x_-0.75)**4, '', markersize=15)ax.fill_between(x_, 1.75 + (x_-0.75)**4, 3, color="grey")ax.plot(x_cons_opt[0], x_cons_opt[1], 'r*', markersize=15) # 在區(qū)域約束下的最小值ax.set_ylim(-1, 3)ax.set_xlabel(r"$x_0$", fontsize=18)ax.set_ylabel(r"$x_1$", fontsize=18)plt.colorbar(c, ax=ax)fig.tight_layout()

scipy.optimize.minimize 中包括了多種最優(yōu)化算法，每種算法使用范圍不同，詳細(xì)參考官方文檔。

python中如何進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算

1、python中使用pow函數(shù)求n的n方根。首先打開(kāi)python的編輯器，新建一個(gè)python 3的文件：

2、pow函數(shù)的用法很簡(jiǎn)單，只要傳入待開(kāi)方的數(shù)，以及要開(kāi)幾次方就可以了。比如演示里是3開(kāi)3次方：

3、然后需要編譯運(yùn)行，點(diǎn)擊菜單欄上run下面的run命令，執(zhí)行編譯運(yùn)行：

4、在下方的結(jié)果中即可看到運(yùn)算的結(jié)果尾27，說(shuō)明是是正確的。以上就是python中開(kāi)N次方的操作方法：

python sympy 求表達(dá)式的值

Sympy是python中非常強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算庫(kù)，可以以書(shū)寫(xiě)習(xí)慣表示數(shù)學(xué)表達(dá)式。下面介紹用Sympy求方程數(shù)值解的方法。

下面代碼全部在

from sympy import *

init_printing(use_unicode=True) # 按書(shū)寫(xiě)習(xí)慣輸出

下運(yùn)行。

數(shù)學(xué)表達(dá)式的輸入

首先聲明符號(hào)：

x = symbols('x')

即計(jì)算機(jī)中的變量x代表數(shù)學(xué)表達(dá)式中的x。在后文輸出中所有的x會(huì)顯示為x。如果x=symbols('x0')，則輸入的方程中所有x將在輸出中以x0表示。

如果需要希臘字母

l, r = symbol('lambda rho')

l, r將分別以λ,ρ表示?？梢栽谝粋€(gè)表達(dá)式中同時(shí)聲明多個(gè)符號(hào)。

或者使用var()聲明：

var('x')

與上面等效。

聲明表達(dá)式：

f = (5/x)*(exp(x)-1)-exp(x)

此時(shí)若輸出f可以看到書(shū)寫(xiě)習(xí)慣的表達(dá)式。由于表達(dá)式在markdown下顯示不正常，在此不放置示例。注意f的類(lèi)型是class 'sympy.core.add.Add'

求f(x)=0數(shù)值解

因?yàn)橛械暮瘮?shù)零點(diǎn)不止一個(gè)，因此在Sympy中解的輸出為一個(gè)list。使用solve(表達(dá)式，自變量符號(hào))可以解析地解方程：

s, = solve(f, x)

這里根據(jù)上面f的賦值，得到s為

LambertW(-5e**-5)+5

其中用了特殊函數(shù)表達(dá)。

我們需要求這個(gè)結(jié)果的數(shù)值近似，則輸出

s.evalf()

得到輸出

4.96511423174428

就是方程f(x)=0的數(shù)值解。

求給定自變量x值時(shí)函數(shù)f(x)的值 | 將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)

f.evalf(subs = {x:4.96})

得到f(4.96)的數(shù)值

0.141885450782171

如果需要以計(jì)算機(jī)函數(shù)的形式定義函數(shù)f(x)，則可以使用lambdify()進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

f_func = lambdify(x, f)

之后可以調(diào)用

f_func(4.96)

輸出

0.141885450782

利用這個(gè)方法可以測(cè)試方程的數(shù)值算法，如使用sympy接口寫(xiě)牛頓法等。

怎么用python計(jì)算一元函數(shù)

寫(xiě)個(gè)例子吧，需要安裝numpy數(shù)學(xué)庫(kù)

#!/usr/bin/python

import

numpy

as

np

#求解方程x^2+2x+1=0的根

#方程參數(shù)列表抽象成一下形式：

arg=[1，

2，

1]

#求解

np.roots(args)

運(yùn)行即可求解了，如果沒(méi)有實(shí)根會(huì)給虛根的結(jié)果

如何用python編寫(xiě)一個(gè)求分段函數(shù)的值的程序

1、首先打開(kāi)python的編輯器軟件，編輯器的選擇可以根據(jù)自己的喜好，之后準(zhǔn)備好一個(gè)空白的python文件：

2、接著在空白的python文件上編寫(xiě)python程序，這里假設(shè)當(dāng)x＞1的時(shí)候，方程為根號(hào)下x加4，當(dāng)x-1時(shí)，方程為5乘以x的平方加3。所以在程序的開(kāi)始需要引入math庫(kù)，方便計(jì)算平方和開(kāi)方，之后在函數(shù)體重寫(xiě)好表達(dá)式就可以了，最后調(diào)用一下函數(shù)，將結(jié)果打印出來(lái)：

3、最后點(diǎn)擊軟件內(nèi)的綠色箭頭，運(yùn)行程序，在下方可以看到最終計(jì)算的結(jié)果，以上就是python求分段函數(shù)的過(guò)程：

網(wǎng)頁(yè)名稱(chēng)：用python求函數(shù)零點(diǎn) 函數(shù)零點(diǎn)怎么求
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