python里怎么樣求解微分方程

有很多大學(xué)生問我，學(xué)習(xí)python有什么用呢？我說：你至少可以用來解微分方程，如下面的例子,就是解決微分方程：

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y"+a*y'+b*y=0?

代碼如下：

[python]?view plain?copy

#y"+a*y'+b*y=0

from?scipy.integrate?import?odeint

from?pylab?import?*

def?deriv(y,t):????????#?返回值是y和y的導(dǎo)數(shù)組成的數(shù)組

a?=?-2.0

b?=?-0.1

return?array([?y[1],?a*y[0]+b*y[1]?])

time?=?linspace(0.0,50.0,1000)

yinit?=?array([0.0005,0.2])?????#?初值

y?=?odeint(deriv,yinit,time)

figure()

plot(time,y[:,0],label='y')????#y[:,0]即返回值的第一列，是y的值。label是為了顯示legend用的。

plot(time,y[:,1],label="y'")?????#y[:,1]即返回值的第二列，是y’的值

xlabel('t')

ylabel('y')

legend()

show()

輸出結(jié)果如下：

常微分方程的解析解(方法歸納)以及基于Python的微分方程數(shù)值解算例實現(xiàn)

本文歸納常見常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程數(shù)值解算例實現(xiàn)。

考慮常微分方程的解析解法，我們一般可以將其歸納為如下幾類：

這類微分方程可以變形成如下形式：

兩邊同時積分即可解出函數(shù)，難點(diǎn)主要在于不定積分，是最簡單的微分方程。

某些方程看似不可分離變量，但是經(jīng)過換元之后，其實還是可分離變量的，不要被這種方程迷惑。

形如

的方程叫做一階線性微分方程，若 為0，則方程齊次，否則稱為非齊次。

解法： (直接套公式)

伯努利方程

形如

的方程稱為伯努利方程，這種方程可以通過以下步驟化為一階線性微分方程：

令 , 方程兩邊同時乘以 ，得到

即 .

這就將伯努利方程歸結(jié)為可以套公式的一階線性微分方程。

形如

的方程稱為二階常系數(shù)微分方程，若 ，則方程稱為齊次的，反之稱為非齊次的。以下默認(rèn)方程是非齊次的。

求解此類方程分兩步：

原方程的解 = 齊次通解 + 非齊次特解

首先假設(shè) .用特征方程法，寫出對應(yīng)的特征方程并且求解：

解的情況分為以下三種：

情況一：方程有兩個不同的實數(shù)解

假設(shè)兩個實數(shù)解分別是 , 此時方程的通解是

情況二：方程有一個二重解

假設(shè)該解等于 ，此時方程的通解是

情況三：方程有一對共軛復(fù)解

假設(shè)這對解是 , 此時方程的通解是

對于 和特征根的情況，對特解的情況做如下歸納：

形如

的方程叫做高階常系數(shù)微分方程，若 ，則方程是齊次的，否則是非齊次的。下面默認(rèn)方程是非齊次的。

求解此類方程分兩步：

原方程的解 = 齊次通解 + 非齊次特解

考慮帶有第三類邊界條件的二階常系數(shù)微分方程邊值問題

問題一:兩點(diǎn)邊值問題的解析解

由于此方程是非齊次的,故 求解此類方程分兩步：

原方程的解 = 齊次通解 + 非齊次特解

首先假設(shè) . 用特征方程法，寫出對應(yīng)的特征方程

求解得到兩個不同的實數(shù)特征根: .

此時方程的齊次通解是

由于 . 所以非齊次特解形式為

將上式代入控制方程有

求解得: , 即非齊次特解為 .

原方程的解 = 齊次通解 + 非齊次特解

于是,原方程的全解為

因為該問題給出的是第三類邊界條件,故需要求解的導(dǎo)函數(shù)

且有

將以上各式代入邊界條件

解此方程組可得: .

綜上所述,原兩點(diǎn)邊值問題的解為

對一般的二階微分方程邊值問題

假定其解存在唯一,

為求解的近似值, 類似于前面的做法,

考慮帶有第三類邊界條件的二階常系數(shù)微分方程邊值問題

問題二:有限差分方法算出其數(shù)值解及誤差

對于 原問題 ,取步長 h=0.2 ,用 有限差分 求其 近似解 ,并將結(jié)果與 精確解y(x)=-x-1 進(jìn)行比較.

因為

先以將區(qū)間劃分為5份為例，求出數(shù)值解

結(jié)果:

是不是解出數(shù)值解就完事了呢？當(dāng)然不是。我們可以將問題的差分格式解與問題的真解進(jìn)行比較，以得到解的可靠性。通過數(shù)學(xué)計算我們得到問題的真解為 ，現(xiàn)用范數(shù)來衡量誤差的大?。?/p>

結(jié)果:

接下來繪圖比較 時數(shù)值解與真解的差距：

結(jié)果:

將區(qū)間劃分為 份, 即 時.

結(jié)果:

繪圖比較 時數(shù)值解與真解的差距：

最后，我們還可以從數(shù)學(xué)的角度分析所采用的差分格式的一些性質(zhì)。因為差分格式的誤差為 ， 所以理論上來說網(wǎng)格每加密一倍，與真解的誤差大致會縮小到原來的 . 下討論網(wǎng)格加密時的變化：

結(jié)果：

python 的scipy 里的 odeint 這個求微分方程的函數(shù)怎么用啊

scipy中提供了用于解常微分方程的函數(shù)odeint()，完整的調(diào)用形式如下：

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0,hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0)

實際使用中，還是主要使用前三個參數(shù)，即微分方程的描寫函數(shù)、初值和需要求解函數(shù)值對應(yīng)的的時間點(diǎn)。接收數(shù)組形式。這個函數(shù)，要求微分方程必須化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即dy/dt=f(y,t,)。

from scipy import odeint

y = odeint(dy/dt=r*y*(1-y/k) ,y(0)=0.1,t)

對于微分方程全還給老師了，

這個地址有很多關(guān)于python做科學(xué)計算的文檔，你可以去查查

網(wǎng)頁題目：python積分微分函數(shù) python 積分函數(shù)
網(wǎng)頁URL：http://jinyejixie.com/article34/dosggpe.html

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