來源：力扣（LeetCode）

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描述：

你打算做甜點(diǎn)，現(xiàn)在需要購買配料。目前共有 n 種冰激凌基料和 m 種配料可供選購。而制作甜點(diǎn)需要遵循以下幾條規(guī)則：

• 必須選擇 一種 冰激凌基料。
• 可以添加 一種或多種 配料，也可以不添加任何配料。
• 每種類型的配料 最多兩份 。

給你以下三個(gè)輸入：

• baseCosts，一個(gè)長度為n的整數(shù)數(shù)組，其中每個(gè)baseCosts[i]表示第i種冰激凌基料的價(jià)格。
• toppingCosts，一個(gè)長度為m的整數(shù)數(shù)組，其中每個(gè)toppingCosts[i]表示 一份 第i種冰激凌配料的價(jià)格。
• target，一個(gè)整數(shù)，表示你制作甜點(diǎn)的目標(biāo)價(jià)格。

你希望自己做的甜點(diǎn)總成本盡可能接近目標(biāo)價(jià)格target。

返回最接近target的甜點(diǎn)成本。如果有多種方案，返回 成本相對較低 的一種。

示例 1：

輸入：baseCosts = [1,7], toppingCosts = [3,4], target = 10
輸出：10
解釋：考慮下面的方案組合（所有下標(biāo)均從 0 開始）：
- 選擇 1 號(hào)基料：成本 7
- 選擇 1 份 0 號(hào)配料：成本 1 x 3 = 3
- 選擇 0 份 1 號(hào)配料：成本 0 x 4 = 0
總成本：7 + 3 + 0 = 10 。

示例 2：

輸入：baseCosts = [2,3], toppingCosts = [4,5,100], target = 18
輸出：17
解釋：考慮下面的方案組合（所有下標(biāo)均從 0 開始）：
- 選擇 1 號(hào)基料：成本 3
- 選擇 1 份 0 號(hào)配料：成本 1 x 4 = 4
- 選擇 2 份 1 號(hào)配料：成本 2 x 5 = 10
- 選擇 0 份 2 號(hào)配料：成本 0 x 100 = 0
總成本：3 + 4 + 10 + 0 = 17 。不存在總成本為 18 的甜點(diǎn)制作方案。

示例 3：

輸入：baseCosts = [3,10], toppingCosts = [2,5], target = 9
輸出：8
解釋：可以制作總成本為 8 和 10 的甜點(diǎn)。返回 8 ，因?yàn)檫@是成本更低的方案。

示例 4：

輸入：baseCosts = [10], toppingCosts = [1], target = 1
輸出：10
解釋：注意，你可以選擇不添加任何配料，但你必須選擇一種基料。

提示：

• n == baseCosts.length
• m == toppingCosts.length
• 1<= n, m<= 10
• 1<= baseCosts[i], toppingCosts[i]<= 10⁴
• 1<= target<= 10⁴

方法一：回溯

思路與算法

??首先題目給出長度分別為 n 的冰淇淋基料數(shù)組 baseCosts 和長度為 m 的配料數(shù)組 toppingCosts ，其中 baseCosts[i] 表示第 i 種冰淇淋基料的價(jià)格，toppingCosts[j] 表示一份第 j 種冰淇淋配料的價(jià)格，以及一個(gè)整數(shù) target 表示我們需要制作甜點(diǎn)的目標(biāo)價(jià)格?，F(xiàn)在在制作甜品上我們需要遵守以下三條規(guī)則：

• 必須選擇一種冰淇淋基料；
• 可以添加一種或多種配料，也可以不添加任何配料；
• 每種配料最多兩份。

??我們希望做的甜點(diǎn)總成本盡可能接近目標(biāo)價(jià)格 target ，那么我們現(xiàn)在按照規(guī)則對于每一種冰淇淋基料用回溯的方式來針對它進(jìn)行甜品制作。又因?yàn)槊恳环N配料都是正整數(shù)，所以在回溯的過程中總開銷只能只增不減，當(dāng)回溯過程中當(dāng)前開銷大于目標(biāo)價(jià)格 target 后，繼續(xù)往下搜索只能使開銷與 target 的差值更大，所以如果此時(shí)差值已經(jīng)大于等于我們已有最優(yōu)方案的差值，我們可以停止繼續(xù)往下搜索，及時(shí)回溯。

代碼:

class Solution {public:
    void dfs(const vector& toppingCosts, int p, int curCost, int& res, const int& target) {if (abs(res - target)< curCost - target) {return;
        } else if (abs(res - target) >= abs(curCost - target)) {if (abs(res - target) >abs(curCost - target)) {res = curCost;
            } else {res = min(res, curCost);
            }
        }
        if (p == toppingCosts.size()) {return;
        }
        dfs(toppingCosts, p + 1, curCost + toppingCosts[p] * 2, res, target);
        dfs(toppingCosts, p + 1, curCost + toppingCosts[p], res, target);
        dfs(toppingCosts, p + 1, curCost, res, target);
    }

    int closestCost(vector& baseCosts, vector& toppingCosts, int target) {int res = *min_element(baseCosts.begin(), baseCosts.end());
        for (auto& b : baseCosts) {dfs(toppingCosts, 0, b, res, target);
        }
        return res;
    }
};

復(fù)雜度分析
時(shí)間復(fù)雜度：O(n×3^m)，其中 nnn，mmm 分別為數(shù)組 baseCosts，toppingCosts 的長度。
空間復(fù)雜度：O(m)，主要為回溯遞歸的空間開銷。

方法二：動(dòng)態(tài)規(guī)劃

思路與算法

??我們可以將問題轉(zhuǎn)化為對于某一個(gè)開銷是否存在甜品制作方案問題，然后我們選擇與目標(biāo)價(jià)格最接近的合法甜品制作方案即可，那么問題就轉(zhuǎn)化為了「01 背包」問題（關(guān)于「01 背包」的概念可見 百度百科）。這樣我們就可以把問題求解從指數(shù)級(jí)別降到多項(xiàng)式級(jí)別了。對于「01 背包」的求解我們可以用「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」來解決。

??設(shè)最小的基料開銷為 x。若 x ≥ target ，則無論我們是否添加配料都不會(huì)使甜品制作的開銷與目標(biāo)價(jià)格 target 的距離縮小，所以此時(shí)直接返回此最小的基料開銷即可。當(dāng)最小的基料開銷小于 target 時(shí)，我們可以對超過 target 的制作開銷方案只保存其最小的一份即可，并可以初始化為 2 × target ? x ，因?yàn)榇笥谠撻_銷的方案與目標(biāo)價(jià)格 target 的距離一定大于僅選最小基料的情況，所以一定不會(huì)是最優(yōu)解。將背包的容量 MAXC 設(shè)置為 target 。然后我們按「01 背包」的方法來依次枚舉配料來進(jìn)行放置。

??我們設(shè) can[i] 表示對于甜品制作開銷為 i 是否存在合法方案，如果存在則其等于 true，否則為 false，初始為 false。因?yàn)閱为?dú)選擇一種基料的情況是合法的，所以我們對 can 進(jìn)行初始化：

can[x]= true, ?x ∈ baseCosts & x< MAXC

??然后我們按「01 背包」的方法來依次枚舉配料來進(jìn)行放置，因?yàn)槊糠N配料我們最多只能選兩份，所以我們可以直接將每種配料變?yōu)閮蓚€(gè)，然后對于兩個(gè)配料都進(jìn)行放置即可。因?yàn)槿我庖粋€(gè)合法方案加上一份配料一定也為合法制作方案。所以當(dāng)要放置的配料開銷為 y 時(shí)，對于開銷為 c, c >y 的轉(zhuǎn)移方程為：

can[c] = can[c?y] ∣ can[c],c >y

??因?yàn)槊恳粋€(gè)狀態(tài)的求解只和前面的狀態(tài)有關(guān)，所以我們可以從后往前來更新每一個(gè)狀態(tài)。然后當(dāng)配料全部放置后，我們可以從目標(biāo)價(jià)格 target 往左搜索找到最接近 target 的合法方案并與大于 target 的方案做比較返回與 target 更接近的方案即可。

代碼:

class Solution {public:
    int closestCost(vector& baseCosts, vector& toppingCosts, int target) {int x = *min_element(baseCosts.begin(), baseCosts.end());
        if (x >= target) {return x;
        }
        vectorcan(target + 1, false);
        int res = 2 * target - x;
        for (auto& b : baseCosts) {if (b<= target) {can[b] = true;
            } else {res = min(res, b);
            }
        }
        for (auto& t : toppingCosts) {for (int count = 0; count< 2; ++count) {for (int i = target; i; --i) {if (can[i] && i + t >target) {res = min(res, i + t);
                    }
                    if (i - t >0) {can[i] = can[i] | can[i - t];
                    }
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i<= res - target; ++i) {if (can[target - i]) {return target - i;
            }
        }
        return res;
    }
};

復(fù)雜度分析
時(shí)間復(fù)雜度：O(target × m) ，其中 m 為數(shù)組 toppingCosts 的長度，target 為目標(biāo)值。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的時(shí)間復(fù)雜度是 O(MAXC × m) ，由于 MAXC = target ，因此時(shí)間復(fù)雜度是 O(target × m) 。
空間復(fù)雜度：O(target) ，其中 target 為目標(biāo)值。需要?jiǎng)?chuàng)建長度為 target + 1 的數(shù)組 can。
author：力扣官方題解

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標(biāo)題名稱：【1774.最接近目標(biāo)價(jià)格的甜點(diǎn)成本】-創(chuàng)新互聯(lián)
文章地址：http://jinyejixie.com/article32/jjopc.html

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