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上回說到我在數(shù)學學習過程中走的種種彎路，相關(guān)內(nèi)容請戳：

我的數(shù)學學習回憶錄——一個數(shù)學愛好者的反思（一）

那在這樣坎坷的旅程中，有沒有給我?guī)硪馔怏@喜，是不是都是最好的安排呢？且往下看。

數(shù)學給人帶來了什么？

通過博弈理解了世界的運轉(zhuǎn)機制以后，回看這些走過的彎路，?我終于有能力和心情來復盤一下我對數(shù)學學習中認知的錯誤過程了。

?

人會對他喜愛的東西過度褒獎，就好像我會對周遭數(shù)學很重要的評述深入記憶，卻對數(shù)學可能也有局限性的說法不屑一顧，因為只有這樣才能撐得起我合理的極客精神。這在一定的時間段內(nèi)有無比積極的作用，只不過這并不真實，走出來的時候，該還的還是要還。

那我們每一個人，從數(shù)學學習的過程中，到底應(yīng)該注意吸收哪些內(nèi)容，而摒棄哪些部分，以使得我們能吸收這一古老科學最核心的精華呢？

我認為是兩點，一是邏輯，二是基本的數(shù)學概念和背后的數(shù)學模型。

我們在學習數(shù)學的過程中，不管是誰，不可避免地會部分進入應(yīng)試的怪圈。沒錯，這是遠沒有達到共產(chǎn)主義的資源還足夠有限社會下不可避免的競爭環(huán)境，必須接納。但我們?nèi)匀灰靼祝跍蕚鋽?shù)學考試的過程中，考的是什么，以及什么是可以一直留下變成能力的。

從2022年全國1卷的考題中就能看出，那些背了，記了很多表層的解題技巧，沒有深刻理解概念的同學，在這樣的考試中就現(xiàn)了原型。是的，如果僅僅靠死記硬背就能完成的考試，那就是個KNN的水平，這顯然不是人應(yīng)該掌握的能力層級。那套卷子強調(diào)其一的就是數(shù)理邏輯，基本的三段論推理，與或非關(guān)系，命題和集合的關(guān)系，還有這些邏輯保證下的數(shù)學歸納法，分類討論，化歸等思想，無不滲透在各種題目中；其二就是最基本的數(shù)學概念，比如導數(shù)和單調(diào)性，集合和映射，質(zhì)數(shù)和互質(zhì)等等，把他們和邏輯組合在一起，就足以考察學生的邏輯敏感性，嚴謹性，和對基本數(shù)學概念的理解和掌握。

那邏輯和基本數(shù)學概念為什么這么重要呢？首先，邏輯思考和辨別能力是我們有獨立思考，辯證思維的基礎(chǔ)，這決定了你在關(guān)鍵時刻能否清醒思考，是否會被情誼等任何因素帶歪。那數(shù)學概念有什么用呢？我看什么單調(diào)性，集合和質(zhì)數(shù)啥的，離現(xiàn)實生活也很遠??？錯了，幾乎所有的數(shù)學概念，都不是憑空產(chǎn)生，都一定有實際問題背景的，都是高度抽象的數(shù)學模型。比如函數(shù)和集合，排列組合，微積分，拓撲等等，而能夠?qū)懙浇炭茣系臄?shù)學概念，一定是經(jīng)得起時間檢驗的，被生活和科學廣泛應(yīng)用的最基本的數(shù)學模型所對應(yīng)的數(shù)學概念。雖然考試起來都抽象到了幾乎和現(xiàn)實無緣的程度，但是這些抽象層級給了你呈現(xiàn)了數(shù)學抽象智慧的藝術(shù)美，同時也是各個領(lǐng)域應(yīng)用以后大概率會用到的最基礎(chǔ)的保證。

當然，為了提升區(qū)分度，里面的計算量也足夠大，這點對熟練度的考量本不是數(shù)學所需，但這就是考試需要你臨時過擬合的能力，需要先卷著趟過去，不然不好證明到底誰更強。

數(shù)學的學習過程如果比作一次機器學習，那我們一定要注意不要過擬合到數(shù)學里的一些和主干概念不相關(guān)的一些技巧，套路中去。我有印象一次奧數(shù)比賽中一個數(shù)論題的解居然是要把數(shù)字對19取對數(shù)才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有的野題則純粹為了刁鉆而刁鉆，僅僅考察的是你知不知道那個冷門技巧而已。那這些東西就要盡量避免去過度學習和記憶，考試也會盡量避免這些指向二發(fā)揮好其風向作用。

與自己和解

回憶起來，那時候我簡直是對數(shù)學考試的無論是原理，邏輯，還是各種市面上見得到的考試技巧都爛熟于心，以至于把這些全部都囫圇吞棗的記下來當作最美的數(shù)學?，F(xiàn)在回想起來，確實這個過程中我熟練掌握了邏輯和概念，但是也記憶了太多沒用的技巧，而很長時間我還一直以那些技巧帶來的優(yōu)越感自豪，直到工作以來發(fā)現(xiàn)這些東西早就無人問津，也沒有任何生產(chǎn)力，多次嘗試使用而碰壁才意識到問題。

現(xiàn)在我去思考和解決生活和工作上的問題，用上基本的邏輯和經(jīng)驗，加上博弈的理解，一切都可以變得有章可循，有的放矢。那些技巧根本不是什么美，只是像魔術(shù)秘密一樣虛無又脆弱地顯出優(yōu)越感的把戲而已。相反，對所有問題都有恰當層級的邏輯和理性的分析思考能力，這才是可以沉淀下來有用和帶得走的東西。

至于那些數(shù)學故事，有趣的數(shù)學游戲，留到數(shù)學文化這樣的小圈子里玩玩，變成數(shù)學魔術(shù)自己研究研究，就很好了。而哪怕是純數(shù)學，因為脫離實際太遠，其實也可以看作是一幫人的思想實驗和游戲，或者是一種和繪畫，音樂一樣，限制條件方式不同的不同門類的藝術(shù)形式。對別人而言，你玩的開心就行，真就沒有什么至高無上的優(yōu)越性，僅此而已。但我依舊樂此不疲地與之玩耍。比如我現(xiàn)在沒事還喜歡拿幾道競賽題，高考題來做做，發(fā)現(xiàn)什么有趣的數(shù)學領(lǐng)域，比如繩結(jié)拓撲，群論，博弈論，就會業(yè)余時間鉆研學習，純粹就是熱愛罷了。

以前我怎么也想不到，世間真理的數(shù)學竟然只是落得一個小眾愛好的田地，并沒有給我?guī)砑邑斎f貫，萬人敬仰，反倒還有無盡的不解和刻板印象。不過，經(jīng)過這些年的磨合，我覺得所有一切都回歸到本來的樣子，無論有沒有人關(guān)注，我依舊是那個骨子里熱愛數(shù)學，可以視作為人生求索的人，這其實有點上升到個人信仰層面了。同時，它本身的特點給我留下的邏輯基礎(chǔ)，也讓我抓住時代東風，在互聯(lián)網(wǎng)里借助這個敲門磚去不舍邊界地實現(xiàn)更多的社會價值和求索，這才對得起它帶給我的那份驕傲。

結(jié)語

數(shù)學沒有我想象的那么奇妙，但她仍舊是我目力所及最美的藝術(shù)品！

數(shù)學的思考只是對其過程添加了邏輯的限制，帶著鐐銬跳舞。其他的比如猜想，思路，分析，作這些思考的過程，和其他所有藝術(shù)門類沒有任何區(qū)別！相反，數(shù)學計算答案，證明過程本身，如果不去剖析背后的思想，沒有任何價值的。問題是無論哪個藝術(shù)門類也是有限制的，畫畫不能把紙戳破，唱歌也不能用手，變魔術(shù)也一定要神奇?。》駝t就頂多是冷門藝術(shù)，曲不高而和寡。

所以，一群可愛的人們，在漫無目的地探索著未知的數(shù)學結(jié)構(gòu)，不斷地猜想，證明，構(gòu)建體系，試圖摸清不知道是否存在的體系，用最深邃的特征去尋找上帝留下的線索，然后去完成一個沒有人設(shè)定目標，沒有人告訴你是否有路可走的，獨一無二的路。唯獨的限制，僅僅是，邏輯自洽。

一天夢里，我偶然夢回了兒時一個人在屋子里推公式的情景，聯(lián)想到法布爾觀察昆蟲的樣子，還有蒙臺梭利書里講到孩提時代所特有的對某件事鉆研中不可打擾的奇妙體驗。如今過了而立之年的我不禁回首而感慨，一個孩子對一個領(lǐng)域的癡迷和鉆研的機會是不可逆的，因為他還沒有那么多見識，沒有那么多選擇，因此在一個很小的領(lǐng)域里能探索出一個奇異的世界。

而這些在成年人看來，這效率太低也太天馬行空了，于其目標不符，典型的聰明反被聰明誤，拿到了你要的最佳期望的最小波動，但也徹底喪失了創(chuàng)造奇跡的可能。

見識過太多的人世繁華，再也抹不去成那空白的記憶。

幸運的是，習得成年人對世界的洞察力和掌控力之外，正是因為數(shù)學和魔術(shù)，以及數(shù)學魔術(shù)的存在，我還隨時保有著安全地回到過去那個行空探索思考的能力，以及體驗?zāi)欠輰Ｗ⒌拿篮煤彤a(chǎn)出的結(jié)果。并且時不時還能用今天武裝得到的知識能力和方法經(jīng)驗來指點兒時的自己，豈不妙哉！

每當夢醒時分，我又會重新帶上驕傲，放下自我，繼續(xù)征程！

我為自己是一個數(shù)學愛好者感到驕傲！

我們是誰：

MatheMagician，中文“數(shù)學魔術(shù)師”，原指用數(shù)學設(shè)計魔術(shù)的魔術(shù)師和數(shù)學家。既取其用數(shù)學來變魔術(shù)的本義，也取像魔術(shù)一樣玩數(shù)學的意思。文章內(nèi)容涵蓋互聯(lián)網(wǎng)，計算機，統(tǒng)計，算法，NLP等前沿的數(shù)學及應(yīng)用領(lǐng)域；也包括魔術(shù)思想，流程鑒賞等魔術(shù)內(nèi)容；以及結(jié)合二者的數(shù)學魔術(shù)分享，還有一些思辨性的談天說地的隨筆。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思維，享受人生樂趣。歡迎掃碼關(guān)注和在文末或公眾號留言與我交流！

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